把「有多强」和「从哪里起步」，写进同一个系数
上一课把复数准备好了：模记强度，角记起点。 这一课把它正式塞进傅里叶变换——每个频率算出一个复数系数，取它的模得到幅度谱，取它的角得到相位谱。那条看着吓人的公式，拆开之后做的还是第 10 课那件事：乘一支波，再求平均，只是欧拉公式把两支试探波合并成了一个 $e$ 的指数。最后走一次完整往返：变过去再变回来，逐点最大误差 $2.5\times10^{-13}$；而如果把相位扔掉再变回来，误差变成 2.05——差了八万亿倍。
一个频率，一个复数系数
整套做法可以浓缩成一句话：
把强度和相位当作极坐标，编码进一个复数。
上一课已经把这件事验证过了。现在给它一个正式的名字：每个频率 对应一个复数，叫这个频率的傅里叶系数，记作 。
在 440 Hz 上，两支试探波给出 +0.0000 和 +1.0000
写成一个复数系数 c = +0.0000+1.0000i
|c| = 1.0000 ← 幅度：这个频率有多强
∠c = +1.5708 弧度 ← 相位：从哪里起步
图 1：一个频率 → 一个复数 → 两个可读的量。模和角不是从系数里「再算出来」的，它们就是这个点的两种坐标。
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