Writing “how strong” and “where it starts” into a single coefficient

导读： 上一课把复数准备好了：模记强度，角记起点。 这一课把它正式塞进傅里叶变换——每个频率算出一个复数系数，取它的模得到幅度谱，取它的角得到相位谱。那条看着吓人的公式，拆开之后做的还是第 10 课那件事：乘一支波，再求平均，只是欧拉公式把两支试探波合并成了一个 $e$ 的指数。最后走一次完整往返：变过去再变回来，逐点最大误差 $2.5\times 10^{-13}$；而如果把相位扔掉再变回来，误差变成 2.05——差了八万亿倍。

一个频率，一个复数系数

整套做法可以浓缩成一句话：

把强度和相位当作极坐标，编码进一个复数。

上一课已经把这件事验证过了。现在给它一个正式的名字：每个频率 $f$ 对应一个复数，叫这个频率的傅里叶系数，记作 $c_f$。

在 440 Hz 上，两支试探波给出 +0.0000 和 +1.0000
写成一个复数系数 c = +0.0000+1.0000i
  |c| = 1.0000        ← 幅度：这个频率有多强
  ∠c  = +1.5708 弧度  ← 相位：从哪里起步

图 1：一个频率 → 一个复数 → 两个可读的量。模和角不是从系数里「再算出来」的，它们就是这个点的两种坐标。

那条公式：两支试探波合成一个

第 10 课我们拿两支试探波分别去乘，再各求一次平均。有了欧拉公式，这两次可以合成一次。

回想上一课那条公式，把它的角取成负的：

$$e^{-i2\pi ft}=\cos (2\pi ft)-i\sin (2\pi ft)$$

右边正好装着我们要的那两支波。 于是「拿余弦乘一遍、拿正弦乘一遍」就变成了拿这一个复数乘一遍：

$$c_f=\frac{2}{T}\int x(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm{d}t$$

看着吓人，但每一块都是老朋友：

所以这条公式做的还是第 10 课那件事：乘一支波，再求平均。 唯一的新东西是「那支波现在是复数的」。

验证一下两种算法给的是同一个答案：

两支分开算：          +0.0000+1.0000i
合成一个 e 的指数算： +0.0000+1.0000i
两者一致：True

幅度谱和相位谱：同一次变换的两半

把所有频率都扫一遍，每个频率得到一个复数系数。然后：

• 取模 → 得到一条曲线，叫幅度谱；
• 取角 → 得到另一条曲线，叫相位谱。

两条谱来自同一次变换，不是算了两遍。

    440 Hz   幅度 1.0000   相位 -1.5708 弧度
    880 Hz   幅度 0.5000   相位 -1.5708 弧度

图 2：上面是幅度谱，两个峰清清楚楚；下面是相位谱，只有在幅度不为零的地方才有意义。

一个必须知道的陷阱：幅度接近零的地方，相位是噪声。

在没有成分的地方，比如 1696 Hz
幅度只有 6.93e-17
这时相位读数 +0.3991 是没有意义的

所以呢？ 那个 $10^{-17}$ 意味着这个频率上什么都没有。幅度是零时，「从哪里起步」这个问题本身就不成立——角完全由浮点残渣决定，画出来是一片乱跳的噪声。看相位谱时必须先看幅度谱，只有峰所在的位置才值得读。

一次完整往返

现在做这一课最要紧的一件事：变过去，再变回来。

逆变换可以分成三步：

1. 取一个纯音，频率是 $f$；
2. 用幅度加权，再加上相位；
3. 把所有这些加权过的正弦叠加起来。

写成式子就是：

$$x(t)=\sum _f|c_f|\cdot \cos \left(2\pi ft+\angle c_f\right)$$

拿上面扫出来的两个系数试一次：

叠加 440 Hz：幅度 1.0000，相位 -1.5708
叠加 880 Hz：幅度 0.5000，相位 -1.5708
重建后逐点最大误差 2.477e-13

图 3：上面两条是原波形和重建波形，完全重合。下面那条是把相位扔掉之后的重建结果——形状明显不同。

误差 $2.5\times 10^{-13}$，是浮点残渣。 只用两个成分就拼回来了，因为这个信号本来就只由两支波组成。

关键实验：把相位扔掉

现在把相位全部当成 0，只用幅度重建一次：

如果把相位全部当成 0 再重建：逐点最大误差 2.0481
比带相位那次大了 8.3e+12 倍

误差从 $10^{-13}$ 跳到了 2.05。

所以呢？ 这个对比说明一件很重要的事：幅度谱只是变换结果的一半。

• 幅度谱告诉你「有哪些频率、各有多强」——这已经很有用，后面很多特征都只用它。
• 但只有幅度谱，拼不回原来的波形。「从哪里起步」这个信息一旦丢掉，就再也补不回来。

这也解释了为什么可逆这件事值得强调：只有幅度和相位都留着，原信号和它的傅里叶表示才装着同样多的信息。少了一半，就只是一个摘要，不再是另一种完整的写法。

三个名字

到这里，三个术语可以正式收下了：

这一课得到了什么，下一课接着讲什么

那条吓人的公式，拆开只有四块：原信号、一支复数试探波、把逐点乘积加起来、再除以时长求平均。第 10 课做的就是这件事，只是当时用了两支实数的波。

三个实测结论：

• 两支分开算和合成一个 $e$ 的指数算，结果完全一致。
• 幅度接近零处（$6.9\times 10^{-17}$）的相位读数是噪声，不能当数据用。
• 带相位重建误差 $2.5\times 10^{-13}$，扔掉相位后变成 2.05——差八万亿倍。

不过上面所有式子都写着积分号，那是连续信号的写法：时间连续、频率也连续，要算无穷多个频率。可计算机手上只有有限个采样点，也不可能算无穷多个频率。

下一课讲这条公式怎样落到有限的数字上：两处「砍」——时间上只取 $N$ 个样本，频率上只算 $N$ 个频率，以及为什么偏偏是这两个 $N$。