计算机只有有限个数字，怎样完成傅里叶变换？

上一课的公式，计算机为什么算不完

上一课把那套“用已知波去比较，再累积结果”的计算写成了下面的形式：

$$\hat{g}(f)=\int g(t)e^{-i2\pi ft}dt$$

先不用重新解释每个符号。我们只看它要求计算机做多少事。

积分号表示要把所有时刻的结果累积起来。如果时间一直向前延伸，就有无穷多个时刻。式子中的 $f$ 又可以取任意频率，因此要想得到完整结果，还得重复计算无穷多个频率。

也就是说，这条公式面对两个无穷：时间没有尽头，频率也有无穷多个。 数学可以这样定义，计算机却不可能真的做完。

第 13 课解决的就是这个落地问题。我们要做两次收口：每次把一个无穷范围变成有限个位置。