用 Python 读取真实声音的频谱：四段声音为什么长得不一样？

导读： 同样弹一个音，小提琴、钢琴和萨克斯听起来仍然不同；噪声又是另一种样子。这一课把四段录音交给 Python，比较它们在不同频率上的强弱分布，并把横轴读成真正的 Hz。

上一课已经把公式变成了计算机能执行的 FFT。但我们只用 8 个自己造的数字验证了它，还没有把一段真实录音放进去。

这一课不再推导公式。我们会先听四个声音文件，再让程序依次完成读取、FFT、取绝对值和画图。这样做完后，屏幕上的曲线才会和耳朵听到的差别对应起来。

先听四段声音，再让程序处理它们

先别急着计算。我们准备四个文件，并按下面的顺序播放。前三段都让人听出稳定的高低，这种听觉感受叫音高；最后一段没有稳定重复，只剩杂乱的起伏，这种声音叫噪声。

1. 小提琴 C4：violin_c.wav
2. 钢琴 C5：piano_c.wav
3. 萨克斯 C4：sax.wav
4. 噪声：noise.wav

先听很重要。前三段都有明确的音高，却拥有不同的质感；最后一段听不出稳定音高。程序画出的结果，必须能帮助我们解释这个听感差别。

图 1：注意最后一步只是少画一部分结果。高频仍然参加了 FFT，f_ratio 没有重新计算声音。

读取录音：先统一成每秒 22050 个数字

读取函数可以使用 librosa.load。原文件把左边和右边的声音分别存成两列，这样的文件叫双声道。

程序先把两列平均成一列。只保留一列的声音叫单声道。然后，程序把四段录音统一为每秒读取 22050 个数字。

“每秒读取多少个数字”叫采样率，这里统一为 22050 Hz；第 04 课解释过它为什么重要。统一之后，四段录音的实际结果是：

所以呢？ 四段录音现在使用相同的时间刻度，数组里相邻两个数字都相隔 1 / 22050 秒。样本数仍然不同，是因为文件时长不同，不是读取失败。

课程脚本使用 SciPy 明确完成同样两步，而不是依赖库的隐藏默认值。完整读取和统一采样率的代码在 lesson14_fft_spectrum.py；安装与运行目录统一见课程总纲，本课不重复环境准备。

输入有 N 个样本，FFT 就返回 N 个结果

先查看小提琴数组的长度，然后运行：

X = np.fft.fft(violin)

print(len(violin))
print(len(X))

本次实际输出是：

59772
59772

同一种起伏一秒重复多少次，叫频率。输入的 59772 个数字按时间排列，输出的 59772 个结果按不同频率排列；每个数组位置就是一个频率格。两边数量相同，正是上一课得到的“N 个样本对应 N 个复数系数”。

真实录音的后半段频率结果可以从前半段推算出来。NumPy 因此还提供了 rfft，专门只返回非负频率这一半：

X = np.fft.rfft(violin)
print(len(X))

它返回 29887 个结果，等于 59772 // 2 + 1。多出来的 1 包含 0 Hz；当样本数为偶数时，末尾还包含采样率一半的位置。

图 2：小提琴的完整 FFT 有 59772 个系数；去掉能够由镜像推算的负频率后，rfft 剩下 29887 个。

np.abs 做了什么：把一个复数换成一个幅度

FFT 返回的不是普通实数。每个频率格都会得到一个复数，它同时保存这一项有多强、从一轮的哪个位置开始。这个含义在第 11 课和第 12 课已经验证过。

这一课只想画“有多强”，所以对每个结果取绝对值：

X = np.fft.rfft(violin)
magnitude = np.abs(X)

复数可以想成平面上的一支箭头。np.abs 算的是箭头长度，也就是复数的模：

$$|X[k]|=\sqrt{\mathrm{Re}(X[k]{)}^2+\mathrm{Im}(X[k]{)}^2}$$

以小提琴在可见范围内的最高峰为例，脚本实际得到：

k = 1409
X[k] = +793.536 + 915.812i
abs(X[k]) = 1211.780
frequency = 519.78 Hz

1211.780 是这次整段 FFT 的原始模值。它会随着录音长度和录音电平变化，不能直接解释成原波形的摆动高度，更不能拿它证明小提琴比另一段声音更响。本课只用它寻找一张谱里的峰和轮廓。

把所有 abs(X[k]) 按频率从低到高排开，得到的曲线叫幅度谱。只有把幅度平方后，结果才能称为功率谱；两者不能混用一个名字。

数组位置不是 Hz，要给 FFT 配一条正确的频率轴

频率格 k = 1409 本身只是数组位置。要知道它代表多少 Hz，还必须结合采样率与样本数。

上一课已经推导过换算式。本课在代码里直接使用与 rfft 配套的函数：

X = np.fft.rfft(y)
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), d=1 / sr)

peak_index = np.argmax(np.abs(X))
print(freqs[peak_index])

X[k] 必须和 freqs[k] 成对读取。一种常见错误是使用 np.linspace(0, sr, len(X))：它会把最后一个位置放到恰好 sr，比真实位置多出一个频率间隔。改用 fftfreq 或 rfftfreq 就不会猜错终点。

rfftfreq 返回的横轴从 0 Hz 到 11025 Hz，也就是采样率的一半。这个上限来自第 13 课讲过的镜像边界，不是程序随便截掉的。

f_ratio=0.1 只是把 0—2205 Hz 放大来看

画图函数可以只保留完整 FFT 的前 10%：

f_bins = int(len(X_mag) * 0.1)
plt.plot(freq[:f_bins], X_mag[:f_bins])

采样率为 22050 Hz 时，完整频率范围的 10% 对应大约 2205 Hz。所以呢？ 图会放大最容易看到乐器主要峰列的低频区域，高于 2205 Hz 的结果仍然存在，只是没有画进这张图。

改用 rfft 后，不能再机械地取数组的前 10%。rfft 的整个数组只到 11025 Hz，它的前 10% 只到约 1102.5 Hz。课程脚本因此直接按 Hz 选择：

visible = freqs <= sr * 0.1
plt.plot(freqs[visible], magnitude[visible])

这里的 0.1 仍然以完整采样率为参照，因此显示范围仍是 0—2205 Hz。

实验：依次画出四段声音的低频频谱

现在按小提琴、钢琴、萨克斯、噪声的顺序画图。

四段文件时长不同，原始 FFT 模值不能放在同一把尺子上直接比较。为了只看轮廓，课程脚本把每张图在 0—2205 Hz 内的最高峰设成 0 dB，其余位置写成相对它低多少：

reference = magnitude[visible].max()
relative_db = 20 * np.log10(
    np.maximum(magnitude, 1e-15) / reference
)

这里的“相对 dB”可以先读成一把方便观察高低差的尺子：0 dB 是本图最高峰，-30 dB 明显更弱，-60 dB 更弱。因为每张图都选择了自己的最高峰，所以它只能比较形状，不能比较四段录音谁更响。

图 3：小提琴和萨克斯在约 260、520、780 Hz 等位置连续出现窄峰；钢琴也有间隔近似固定的峰列，但各峰相对高度和周围衰减不同。噪声没有同样清楚的整齐峰列，曲线在大段频率范围里持续起伏。

这张图把耳朵听到的差别变成了程序能读取的形状：

• 小提琴在 519.78 Hz 附近最高，但 260 Hz 左右也有一根明显的峰；后面还能看到近似整数倍位置上的峰。
• 钢琴在 527.10 Hz 附近最高，后续峰的间隔和衰减方式与小提琴不同。
• 萨克斯在 523.52 Hz 附近最高，也有规则峰列，但各根峰的相对高度又换了一套组合。
• 噪声本次最高点是 73.88 Hz，但周围没有跟着出现整齐的整数倍峰列。

这些数字后面的结果是：程序不只拿到了“有声音”这一个判断，还拿到了能够区分声音材料的频率轮廓。这正是第 03 课所说的音色差异，现在第一次由真实 FFT 曲线直接展示出来。

最高的峰，不一定就是听到的音高

小提琴文件标的是 C4，基频在 260 Hz 左右，图中最高峰却是 519.78 Hz，接近它的两倍。萨克斯也有相同现象。

这不是 FFT 算错了。周期声音除了最低的重复频率，还会包含它的整数倍成分，叫泛音；某一根泛音完全可能比基频更强。因此，“最高峰在哪里”不能直接等同于“音高是多少”。

噪声更能说明这个限制。它总会有一个数值最大的频率格，本次碰巧是 73.88 Hz，但噪声没有稳定重复，也没有整齐的倍数峰列。把这个最高点宣布成噪声的音高，只是在给随机凸起贴标签。

所以读谱时先问的是“峰怎样排列”，然后才是“最高峰在哪里”。一根孤立的最大值，没有周围结构配合，不能独自证明音高。

这一课得到了什么，下一课接着讲什么

这一课完成了五步：

1. 依次听并载入四段真实声音。
2. 用 np.fft.fft 或 rfft 得到频率结果。
3. 用 np.abs 取出幅度，画成幅度谱。
4. 用配套频率轴把数组位置换成 Hz。
5. 只显示 0—2205 Hz，比较四种声音的峰列和轮廓。

现在程序已经能看出小提琴、钢琴、萨克斯和噪声的频率组成不同。但每张图都把整段录音压成了一条曲线：钢琴在哪一刻敲下、哪一刻衰减，已经找不到了。

下一课会保留这次 FFT 的做法，却不再一次处理整段录音。程序会把声音切成许多互相重叠的小段，分别计算频率，从而同时回答“有什么频率”和“它什么时候出现”。