用 Python 实现带能量比：2000 Hz 到底该切在哪一格

导读： BER 的公式只有一个除法，代码却有两个不报错的陷阱：把“时间帧数”当成“频率格数”，以及用近似格距把 2000 Hz 切到错误一侧。本课用三段 30 秒音乐逐帧计算 BER。正确分界是第 186 格；一旦把 1292 个时间帧误当成频率格数，分界会跑到第 234 格，也就是实际约 2519 Hz。德彪西那段的中位 BER 会因此多出 4.37 dB。

完整代码在第 22 课脚本，公共函数在frequency_features.py。运行环境沿用课程总纲里的一次性配置。

这一课要完成什么实验

三段课程音乐各取前 30 秒，参数统一为：

采样率       22050 Hz
帧长         2048 个样本（92.9 毫秒）
帧移          512 个样本（23.2 毫秒）
分界频率      2000 Hz

实验分四步：载入三段音乐、做 STFT、找 2000 Hz 对应的分界格、逐帧累计两侧功率。最后再故意把矩阵轴写错一次，量出这个错误会改变多少。

先用耳朵听一遍

动手算之前先听：德彪西、摇滚、艾灵顿公爵。

听的时候只留意一件事：低音那一头有多满。 德彪西那段是钢琴独奏，低音区厚、高频只有一点点琴槌的声响；摇滚那段的镲片和失真吉他一直在上面顶着；艾灵顿那段介于两者之间，管乐和节奏组都占着中频。

先有这个印象，后面算出来的三条曲线才有东西可对照——曲线排出的高低顺序如果和耳朵完全对不上，那多半是代码错了，不是耳朵错了。 这一课末尾就会遇到这样一次。

先得到三张功率声谱图

S = librosa.stft(y, n_fft=2048, hop_length=512)
power = np.abs(S) ** 2
print(S.shape)

三段音乐得到的形状相同：

debussy  -> (1025, 1292)
redhot   -> (1025, 1292)
duke     -> (1025, 1292)

1025 行是频率格，1292 列是时间帧。 这个方向必须先说清楚：BER 要保留每一个时间列，把同一列里的低频行相加、高频行相加。

图里写的“沿频率方向相加”，在 NumPy 里是 axis=0。它会把 1025 行压成 1 行，1292 个时间位置一个都不丢。

2000 Hz 不是拿除法猜出来的

2048 点 rFFT 的每格间距是

$$\Delta f=\frac{22050}{2048}\approx 10.7666\text{Hz}$$

2000 除以 10.7666 约等于 185.76。这个数不是格号答案，它只说明 2000 Hz 落在第 185 格和第 186 格之间。

本课约定低侧严格小于 2000 Hz，高侧大于或等于 2000 Hz，所以应该找第一个不低于 2000 Hz 的频率格：

frequencies = np.fft.rfftfreq(2048, d=1 / 22050)
split_bin = np.searchsorted(frequencies, 2000, side="left")

结果是：

第 185 格 = 1991.82 Hz   仍在低侧
第 186 格 = 2002.59 Hz   高频侧第一格

因此低侧取 power[:186]，高侧取 power[186:]。两块没有重叠，也没有漏掉一行。

为什么不用“奈奎斯特频率除以频率格数”来估？因为 rFFT 的 1025 格包含 0 Hz 和奈奎斯特两个端点，相邻格只有 1024 段。直接生成真实频率轴，更清楚，也不会出现少一格的问题。

把公式写成四行代码

power = np.abs(S) ** 2
split = np.searchsorted(frequencies, 2000)
low_energy = power[:split].sum(axis=0)
high_energy = power[split:].sum(axis=0)
ber = low_energy / high_energy

向量化结果还要和最笨的逐帧循环核对一次：每一列单独取两段、分别调用 sum、再相除。两种写法的最大差是 5.684e-14，只剩浮点加法顺序造成的尾数。

原始 BER 是倍数，但真实音乐的比值变化很大，折线容易被少数尖峰压扁。画图时把它写成 dB：

$${\mathrm{BER}}_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}\left(\frac{E_{\mathrm{low}}}{E_{\mathrm{high}}}\right)$$

• 0 dB：两侧功率相等；
• 正值：低频侧更多；
• 负值：高频侧更多。

公式仍然是同一个比值，只是换了更容易画的刻度。

还差一步才能画：ber 里有 1292 个数，它们的编号是帧号，不是秒。把帧号换成时间要用帧移：

times = librosa.frames_to_time(np.arange(len(ber)), sr=22050, hop_length=512)

帧移是 512 个样本，所以相邻两帧相隔 $512/22050\approx 23.2$ 毫秒，1292 帧铺满约 30 秒。横轴一定要换成秒再画，否则图上读出的“第 600”既可能是第 600 帧，也可能被误读成第 600 秒。

三段音乐的结果

每段 1292 帧，不能只看一两个尖峰。用中位数表示典型位置，再用第 25% 到第 75% 分位表示中间一半：

在这三段录音、这个 2000 Hz 分界下，德彪西低频侧相对最多，摇滚最少，艾灵顿在中间——和开头听到的顺序一致。这不是巧合，也不是什么了不起的验证，但它是最便宜的一道检查：算出来的数如果把摇滚排到低频最重的一端，那一定是哪里写错了。

但课程里每类只有一段音乐，这只能描述三个样本，不能宣布整个音乐流派都有同样规律。

一个不会报错的轴错误

S[0] 是第一行，长度是 1292——也就是时间帧数。若把 len(S[0]) 当成频率格数，程序不会崩溃，却会算出第 234 格。放回真实频率轴一看：

第 234 格 = 2519.38 Hz

也就是说，代码嘴上写 2000 Hz，实际却按约 2519 Hz 分开。错误分界把更多能量算进低频侧，所以三段的中位 BER 都被抬高：

这就是为什么频率轴和矩阵方向不能靠记忆猜。先打印 shape，再打印分界格对应的真实 Hz，两个检查足以抓住大多数 BER 错误。

分界频率一改，结论也会动

分界从 500 Hz 改到 2000 Hz，三段的先后顺序都变了。BER 不是声音自带的唯一号码，它是在你指定的频率分界下回答问题。选分界应该跟任务有关，不能因为某篇示例用了 2000 Hz，就把它当成通用常数。

这一课得到了什么，下一课接着讲什么

这一课从头实现了 BER，最重要的不是最后那一行除法，而是前面的两个约定：

1. (1025, 1292) 中，1025 行是频率，1292 列是时间；
2. 低侧取 < 2000 Hz，高侧取 >= 2000 Hz，因此正确分界是第 186 格。

写错矩阵轴时，2000 Hz 会悄悄跑到实际 2519.38 Hz；三段录音的中位 BER 会被抬高 1.83—5.97 dB。参数本身也会改变答案：分界从 500 Hz 扫到 4000 Hz，三段曲线的相对位置并不固定。

下一课实现另外两个频域特征：先让库算出质心和带宽，再把两行函数手写出来逐帧核对。那里还有一处定义差异要解决：同样叫“带宽”，$p=1$ 和库默认的 $p=2$ 并不是同一个数。