Spectral centroid and bandwidth: measuring where frequencies are centred and how far they spread

导读： 频谱质心和带宽经常只用两行库函数带过。本课反过来做：先按库的默认参数得到三段音乐的时间轨迹，再把两行函数拆成公式，自己逐帧重算。质心最大差只有 1.917e-05 Hz，带宽最大差只有 1.156e-05 Hz。对齐过程还会揭开一个容易混用的定义：平均绝对距离是 $p=1$，库函数默认算的是均方根距离 $p=2$，这三段音乐上两者能差到 1.30—1.54 倍。

完整代码在第 23 课脚本，公共实现仍在frequency_features.py。运行环境沿用课程总纲里的一次性配置。

这一课要完成什么实验

仍然用德彪西、摇滚、艾灵顿公爵三段音乐，各取前 30 秒。这次参数是：

采样率       22050 Hz
帧长         1024 个样本（46.4 毫秒）
帧移          512 个样本（23.2 毫秒）

先调用库函数，确认每段得到 1292 个质心和 1292 个带宽；然后从同一张幅度谱手写两套公式，逐帧比较。最后把 $p=1$ 和 $p=2$ 都算一遍，看看“定义只差一个参数”在真实音乐上会差多少。

先用耳朵听一遍

和上一课一样，先听：德彪西、摇滚、艾灵顿公爵。

这次留意的是另一件事：声音听起来有多“亮”，以及成分铺得有多杂。 摇滚那段的镲片、失真和人声挤在一起，又亮又满；德彪西那段的钢琴偏暗，同一时刻响着的东西也少；艾灵顿那段的管乐比钢琴亮一些，但远没有摇滚那么铺天盖地。

“亮”和“铺得开”正是这一课要量的两个数。先记住耳朵给出的顺序，等下和曲线对一次。

先让库交出两条时间轨迹

centroid = librosa.feature.spectral_centroid(
    y=y, sr=sr,
    n_fft=1024, hop_length=512
)[0]

bandwidth = librosa.feature.spectral_bandwidth(
    y=y, sr=sr,
    n_fft=1024, hop_length=512
)[0]

三段的 shape 都是 (1292,)。这不是整段录音只有一个质心，而是每帧一个数。用

times = librosa.frames_to_time(
    np.arange(1292), sr=sr, hop_length=512
)

就能把第几帧换成第几秒。

质心曲线高，表示这一帧的幅度整体更偏向高频。它不是音高轨迹：摇滚里失真、电吉他泛音、鼓和噪声都会把质心拉高，即使没有一个清楚的高音符。

把质心手写出来

先从同一组参数得到幅度谱和真实频率轴：

S = np.abs(librosa.stft(y, n_fft=1024, hop_length=512))
frequencies = np.fft.rfftfreq(1024, d=1 / sr)

S 的形状是“频率格 × 时间帧”。每一列的质心是：

$$C_t=\frac{{\sum }_{n}f[n]S[n,t]}{{\sum }_{n}S[n,t]}$$

写成向量化代码只有三行：

total = S.sum(axis=0)
weighted = (frequencies[:, None] * S).sum(axis=0)
centroid_manual = weighted / total

这里用的是幅度 S，不是功率 S ** 2。换成平方以后高幅度频率格会被进一步放大，算出的将是另一种质心，不能再拿来和库的默认结果对齐。

带宽先要回答：用哪一把尺

质心确定中心以后，带宽量每一格离中心多远。通用写法是：

$$B_t^{(p)}={\left(\frac{{\sum }_n|f[n]-C_t{|}^{p}S[n,t]}{{\sum }_{n}S[n,t]}\right)}^{1/p}$$

当 $p=1$，得到平均绝对距离；当 $p=2$，远处的频率格先平方，所以受到更大惩罚，最后再开方把单位还原成 Hz。

$p=2$ 这一支就是第 21 课说过的加权标准差：把频率当数据、幅度当权重、质心当平均值，算出来的正是标准差。库函数默认使用它：

distance2 = np.abs(frequencies[:, None] - centroid_manual) ** 2
bandwidth_manual = np.sqrt((S * distance2).sum(axis=0) / total)

图里同一列频谱的质心是 1000 Hz，$p=1$ 带宽是 166.7 Hz，$p=2$ 是 288.7 Hz。两把尺都合理，但结果不能混用。本课后面的“带宽”如无特别说明，一律指 $p=2$。

手写与库函数能不能对上

用三段录音全部 3876 帧逐个比较：

频谱质心最大绝对差      1.917e-05 Hz
p=2 带宽最大绝对差      1.156e-05 Hz

都不到十万分之二赫兹。剩下的只是浮点数计算顺序不同；公式、幅度权重、真实 Hz 频率轴和矩阵方向已经对齐。

这个核对比“图看着差不多”严格得多。两条曲线即使差几十赫兹，在几千赫兹的纵轴上也可能重合；逐帧最大差会把任何一处偏差抓出来。

p=1 与 p=2 在真实音乐上差多少

这不是小数点后的差异。同一段德彪西，换一把尺就从 760.5 Hz 变成 1173.7 Hz。以后看到“频谱带宽”时，至少要核对三件事：用幅度还是功率作权重、$p$ 是多少、静音帧怎么处理。

三段录音的中心和展开

这三段里，摇滚的质心和带宽都最高。仍然只能说“这三段录音如此”，不能从每类一首曲子推断整个流派。

两条轨迹确实常一起起伏，但不是同一个量。逐帧相关系数分别是：

德彪西       0.883
摇滚         0.880
艾灵顿公爵   0.767

相关很强，却远没有到完全相同。第 21 课已经造出“质心不动、带宽改变”和“带宽不动、质心改变”的标准答案；这里的相关只说明真实录音中高频增多时，频谱常常也会一起铺开。

两个解释边界

第一，静音帧没有可解释的质心。 当整列幅度都是 0，分子和分母都是 0。公共函数为了和库的数值约定一致返回 0 Hz，但这不代表静音的频谱中心真的在 0 Hz。实际项目里应该同时检查这一帧的能量，低于阈值就标成无效。

第二，录音条件会改变结果。 麦克风的频率响应、压缩、均衡器和环境噪声都会改写频谱。质心和带宽描述的是“这份录音里测到的频率分布”，不是脱离设备后仍然不变的声音身份证。

三个特征放回项目：谁分得开哪一对

第 21 课说过，这三个特征在实际任务里的常见去处就是音乐风格分类，也就是课程项目要做的事。三个数现在都算完了，可以回答那个具体的问题了：哪一个数分得开哪一对风格？

把三个特征的中位数和中间一半并排放：

摇滚三个数都分得开。 它的中间一半和另外两段完全不重叠：质心比爵士的上界还高出 577 Hz，带宽高出 762 Hz，BER 比爵士的下界还低 0.55 dB。想从这三段里挑出摇滚，随便用哪一个数都够。

古典和爵士就完全是另一回事了。

• 用质心：古典的中间一半是 861—1311 Hz，整段落在爵士的 818—1340 Hz 里面。重叠 100%——按这个数，两者根本分不开。
• 用带宽：反过来，爵士的 1128—1326 Hz 整段落在古典的 1082—1563 Hz 里面，同样重叠 100%。
• 用带能量比：重叠 5.03 dB，只占古典那段中间一半（8.93 dB）的 56%。仍然重叠得多，但这是三个数里唯一真的把两者拉开了一点的。

所以结论不是省事的“三个特征都有用”，而是：在这三段录音上，质心和带宽基本只是摇滚探测器；古典和爵士之间，只有带能量比动了一下。 这也解释了为什么项目要同时算三个数再交给后面的程序——它们不是三份互相印证的证据，而是各自只在某些对比上说得出话。

再提醒一次边界：每种风格只有一段 30 秒的录音。上面这些话描述的是这三段音频，不是古典、爵士和摇滚这三类音乐。换一段德彪西、换一支爵士乐队，数字都会变。要判断这些特征能不能推广，必须换成更多录音、并且严格分开训练与测试。

这一课得到了什么，下一课接着讲什么

这一课把最后两个频域特征从库函数拆回了可核对的公式：

1. 质心是用幅度给真实 Hz 频率加权；三段里的手写与库最大差 1.917e-05 Hz；
2. 库默认带宽是 $p=2$ 的均方根距离，手写与库最大差 1.156e-05 Hz；
3. $p=1$ 与 $p=2$ 不是两种写法，而是两把不同的尺，这三段上相差 1.30—1.54 倍；
4. 质心和带宽相关但不能互换，静音帧的 0 也不能当成有效测量。

二十三课到这里结束，不再虚构一篇“下一课”。文章里的实验是最短、可读的版本；课程代码目录保留了完整输出、参数扫描和边界检查，课程项目则把这些特征放回“三首曲子，一个分类器”的完整流程。接下来真正值得做的，是换成更多录音、严格分开训练与测试，再检验这些数字能否推广到没见过的声音。