不做任何频率分析，只看那条曲线能问出什么？

导读： 上一课把流水线搭好了，「逐帧计算」那一格还空着。这一课填上时域这条的三个答案：振幅包络（这一帧最高多少）、均方根（这一帧整体多强）、过零率（这一帧穿过中线多少次）。三个都不需要任何频率分析，只看那条曲线本身。它们不是三个可以互换的名字，而是三个不同的问题——每一个都有自己的公式、自己的弱点、自己的用武之地。这一课把三个公式各拿一个八个数的小帧手算一遍，你拿笔就能核对。

三个时域特征

时域特征就是直接从那条曲线算出来、不做频率分析的特征。本课讲三个最常用的，先各用一句话说清它们分别是什么：

振幅包络指的是：一帧里最高的那个数有多大。英文缩写 AE。
均方根指的是：一帧整体上有多强，帧里每个数都参与。英文缩写 RMS。
过零率指的是：一帧里那条曲线穿过中线多少次。英文缩写 ZCR。

图 1：三个特征各问一个不同的问题。三个答案都在手上，才知道这一帧是「短促一下」还是「一直很响」。

下面三节各讲一个。为了能拿笔核对，三个公式都用同一个八个数的小帧算：

s = [0.3, 0.7, - 0.2, - 0.9, 0.4, 0.1, - 0.5, 0.6]

这一帧的样本数记作 $K = 8$ 。

振幅包络：这一帧里最高的那个数

定义：一帧里所有样本中，最大的那个振幅值。

AE_{t} = k = t \cdot K max (t + 1) \cdot K - 1 s (k)

公式看着吓人，逐项拆开只有四样东西：

符号	是什么
$AE_{t}$	第 $t$ 帧的振幅包络——要算的那个结果
$s (k)$	第 $k$ 个样本的振幅——原始的那串数
$K$	帧长，一帧有多少个样本
$k = t \cdot K$	第 $t$ 帧的第一个样本的编号
$(t + 1) \cdot K - 1$	第 $t$ 帧的最后一个样本的编号

所以这条式子读出来就是：在第 $t$ 帧那一段里，从头扫到尾，取最大的那个。 对每一帧都这么算一次，把结果按时间连起来，就是一条贴着波形外沿走的线。

图 2：上面是公式各部分对应什么，下面是这八个数上的实际结果。注意最右边那两个数不一样。

照公式写代码会漏掉一半

拿这八个数跑一遍：

照公式直接取最大    0.7
先取绝对值再取最大  0.9

两个数不一样，差 0.2。

原因是 $- 0.9$ ：它是负的，但它离中线的距离比 $+ 0.7$ 更远。这一帧真正的峰是 0.9，不是 0.7。

“最大振幅”里的振幅本来就指“离零有多远”，不带符号。所以写成代码时必须补上绝对值：

ae = np.max(np.abs(frame))     # 不能写成 np.max(frame)

漏掉 abs，一帧里最深的那个谷就永远看不见——而对打击类的声音来说，谷往往和峰一样深。

优点、缺点、用在哪

能粗略反映响度。 峰越高，通常听着越响。
对离群值敏感。 一帧里只要有一个异常大的数，整帧的结果就被它一个人决定了。一次爆音、一次点击噪声，都会让这一帧的 AE 冲到顶。
常见用途：起音检测（找出每一下是什么时候开始的）、音乐曲风分类。

均方根：这一帧整体有多强

AE 只看一个数。RMS 让这一帧里的每一个数都参与。

RMS_{t} = \frac{1}{K} k = t \cdot K \sum (t + 1) \cdot K - 1 s (k)^{2}

这条式子从里往外读，正好三层：

这一层	在算什么
$s (k)^{2}$	第 $k$ 个样本的能量
$\sum s (k)^{2}$	这一帧所有样本的能量加起来
$\frac{1}{K} \sum$	除以样本数，得到平均能量
$x$	再开平方

名字就是倒着念这三步：Root（根）· Mean（均）· Square（方）。

图 3：从八个原始数走到 0.5256，中间三步。

为什么要平方，又为什么要开回来

拿那八个数直接求平均：

直接求平均 = 0.0625

几乎是零。因为正负互相抵消了——这一帧明明在剧烈振动，直接平均却量不出任何强弱。

平方就解决了这件事：平方之后全是正数，没有抵消。

① 每个数平方
   0.09 0.49 0.04 0.81
   0.16 0.01 0.25 0.36
② 全部加起来   2.21
③ 除以 K=8     0.2762
④ 开平方       0.5256

那为什么还要开回来？因为平方之后量级变了（0.2762 和原始那些数不在一个尺度上）。开平方把它换回和原始样本一样的量级，这样 RMS 和 AE 才能画在同一张图上直接比。

优点、缺点、用在哪

能反映响度，而且比 AE 更贴近「整体感觉」。
比 AE 更不怕离群值。 一个孤立的尖峰要和其余 $K - 1$ 个数一起平均，被稀释掉了。
常见用途：音频分段（把一段长录音切成若干有意义的片段）、音乐曲风分类。

过零率：这一帧穿过中线多少次

前两个都在量「有多大」。ZCR 完全不管大小，只数次数。

定义：信号穿过横轴的次数。

图 4：绿点是曲线穿过中线的位置。数它们有几个，就是这一帧的过零次数。

写成公式：

ZCR_{t} = \frac{1}{2} k = t \cdot K \sum (t + 1) \cdot K - 1 sgn (s (k)) - sgn (s (k + 1))

核心是那个 $sgn$ ，叫符号函数，它把一个数压成三种情况之一：

sgn (x) = ⎩ ⎨ ⎧ + 1 - 1 0 x > 0 x < 0 x = 0

然后看相邻两个样本的符号一样不一样：

同号，比如 $(+ 1) - (+ 1) = 0$ ，取绝对值除以 2 还是 0——没穿过。
异号，比如 $(- 1) - (+ 1) = - 2$ ，取绝对值除以 2 得 1——穿过了一次。

那个 $\frac{1}{2}$ 就是干这个用的：把「差 2」换算成「1 次」。

手算这八个数

原始   0.3  0.7 -0.2 -0.9
       0.4  0.1 -0.5  0.6
符号    +1   +1   -1   -1
        +1   +1   -1   +1
相邻异号？ 0 1 0 1 0 1 1

加起来：这一帧穿过中线 4 次。

一个必须知道的口径差异

手算到“4 次”就结束了——它给的是一个次数。但实际使用时，还要除以帧长换成比例，好让不同帧长之间能比。除数有两种写法：

除以相邻对的个数 7 = 0.5714
  ← 本课程 soundlab 的口径
除以帧长 8       = 0.5000
  ← librosa 的口径

这不是我推的，脚本里真调了一次 librosa 让它自己给：

librosa 实际算出来 0.5000
等于 4/8，确实是除以帧长
zero_crossings(pad=False)
数出 4 次，和上面的手算一致

所以呢？ 两个口径差一个 $K / (K - 1)$ 。帧长 1024 时这个差只有 0.1%，可以忽略；但同一个数据集必须自始至终用同一个口径，否则两批数字没法直接比。第 09 课把手写实现和 librosa 对齐时，第一个要对上的就是这个除数。

优点、缺点、用在哪

完全不受音量影响。 把整段乘以 10，穿过中线的次数一次也不会变——下面有实测。
不能单独用来判断音高。 噪声也可能频繁过零；录音里很小的电气抖动还会制造额外的交点。
常见用途：
- 分辨打击乐和有音高的乐音——打击声穿零又多又不规则。
- 单音高估计——只有一个音在响时，过零次数和音高有直接关系。
- 语音的清浊音判断——「s」「f」这类摩擦音的过零率远高于元音。

实验：换成真实录音，三条曲线各画各的

运行 lesson07_three_time_features.py，对 debussy.wav 的前 3 秒逐帧算三个数：

66150 个样本，帧长 1024 帧移 512
切出 128 帧
       最小     最大     平均
AE   0.1315  0.2685  0.1808
RMS  0.0426  0.0888  0.0647
ZCR  0.0450  0.0929  0.0654

图 5：四条线共用同一条时间轴。最上面是原始波形，下面三条是逐帧算出的 AE、RMS、ZCR。

三条曲线都是 128 个点、共用同一条时间轴。但它们不是彼此的缩放版——把三条各自除以自己的最大值之后算相关系数：

AE 和 RMS   0.794
AE 和 ZCR  -0.322
RMS 和 ZCR -0.552

所以呢？ AE 和 RMS 高度同向（0.794），因为两个都在量「这一帧振动得多大」。ZCR 和它们是负相关，而且明显弱一截——它数的是穿过中线的次数，和振动多大根本不是一回事。

要点不是这个负号有多大，而是：ZCR 量的是另一件事，不能拿它替代 AE 或 RMS，反过来也不行。

最直接的证据：把整段乘以 10

      原样    ×10 后   倍数
AE   0.1808  1.8081  10.00
RMS  0.0647  0.6465  10.00
ZCR  0.0654  0.0654   1.00

AE 和 RMS 严丝合缝地跟着变了 10 倍。ZCR 一动不动。

所以呢？ 乘一个正数不会让曲线多穿过中线一次，也不会少一次。这条性质说明 ZCR 和「录得多响」完全无关——第 09 课比较语音和噪声时要用到它。

这一课得到了什么，下一课接着讲什么

	AE	RMS	ZCR
问什么	最高多少	整体多强	穿线多少次
用几个样本	只用最大的那一个	全部 $K$ 个	全部相邻对
怕离群值吗	很怕	不太怕	不怕
受音量影响吗	是	是	完全不受
常见用途	起音检测、曲风分类	音频分段、曲风分类	打击乐对乐音、单音高估计、清浊音判断

三个公式讲完了，但还没有一行真正能跑在整首曲子上的实现。上面那些数是脚本算的，脚本里的函数还没拆开看过。

下一课从头实现振幅包络：读进三段音乐、画出波形、手写 AE、把帧编号换算成时间、最后把包络叠在波形上——完整走一遍，看看三种曲风的包络长得有多不一样。